Ebook Kalkulus

Beberapa hari yang lalu saya posting materi-materi yang saya dapat dari P4TK Matematika Yogyakarta, yaitu Penilaian Pembelajaran Matematika, Strategi Pembelajaran Matematika, Pembelajaran Fungsi Persamaan dan Pertidaksamaan Aljabar. Masih seri tentang P4TK Matematika Yogyakarta, berikut ini saya posting mengenai materi kalkulus. Materi juga ditulis oleh Drs. Setiawan, M.Pd.

More about → Ebook Kalkulus

Jangan Asal Mengkuadratkan

Kemarin saya sudah menulis tentang pertidaksamaan irasional. Sebagian langkah untuk menyelesaikan pertidaksamaan irasional adalah mengkuadratkan kedua ruas. Yang perlu diperhatikan adalah jangan sampai lupa memberi batasan (syarat) ketika mengkuadratkan kedua ruas. Berikut ini saya menulis lagi mengenai pengkuadratan kedua ruas baik pada persamaan irasional maupun pertidaksamaan irasional. Perhatikan contoh-contoh berikut:

Contoh 1

Selesaikan persamaan !

Penyelesaian:

Sebelum mengkuadratkan kedua ruas, harus diperhatikan batasannya.

x + 6 >= 0 ekuivalen dengan x >= -6. 

Kuadratkan kedua ruas, maka persamaan menjadi

x + 6 = x²

x² - x - 6 = 0

(x + 2)(x -3) = 0

x = - 2 atau x = 3

Keduanya memenuhi syarat karena keduanya >= -6. Namun masih harus kita cek keduanya dengan cara substitisikan ke dalam persamaan.

Untuk x = -2 didapat

 

. Tidak memenuhi, karena nilai akar selalu tidak negatif.

Untuk x = 3 didapat

. Memenuhi. Jadi penyelesaiannya hanya 3.

Yang harus diperhatikan dalam menyelesaikan persamaan irasional adalah menguji jawaban yang telah diperoleh.

Contoh 2

Selesaikan pertidaksamaan !

Penyelesaian:
Syarat di bawah tanda akar adalah x + 2 >= 0 ekuivalen dengan x >= -2
Syarat pengkuadratan adalah kedua ruas >= 0, ruas kanan pasti >= 0 (jadi tidak perlu diberi syarat). Ruas kiri x >= 0.
Kedua syarat, yaitu x >= -2 dan x >= 0 menjadi x >= 0

Kuadratkan kedua ruas, maka menjadi

x² > x + 2

x²- x - 2 > 0

(x + 1)(x - 2) > 0

x < -1 atau x > 2.

Karena syaratnya x >= 0 maka penyelesaiannya hanya x > 2.

Kesimpulan yang dapat kita ambil adalah jangan asal mengkuadratkan kedua ruas persamaan atau pertidaksamaan irasional. Perlu diperhatikan adalah pemberian syarat-syarat yang diperlukan.

More about → Jangan Asal Mengkuadratkan

Menyelesaikan Pertidaksamaan Irasional

Pertidaksamaan irasional adalah pertidaksamaan yang memuat tanda akar, misal . Menyelesaikan persamaan irasional memerlukan kehati-hatian, bila tidak kita kadang merasa yakin benar, namun ternyata salah. Yang perlu diperhatikan adalah dalam hal memberi batasan (syarat), baik batasan di bawah tanda akar maupun batasan ketika mengkuadratkan kedua ruas.
Perhatikan contoh-contoh berikut ini!

Contoh 1

Carilah semua x yang memenuhi 

Penyelesaian:
Syarat dibawah tanda akar adalah 
Syarat untuk mengkuadratkan kedua ruas harus postif atau 0 (tidak negatif). Ruas kiri memuat akar berarti nilainya selalu positif atau 0. Ruas kanan harus .
Kedua syarat ini kita interseksikan menjadi .
Kuadratkan kedua ruas, maka pertidaksamaan menjadi:




Jadi 
Karena syaratnya  maka .
Sampai di sini belum selesai. Coba perhatikan pertidaksamaan diatas! Ruas kiri yaitu nilainya selau positif, sehingga ruas kanan, yaitu x akan memenuhi pertidaksamaan bila nilainya negatif, sehingga  dan  (batasan dibawah tanda akar) juga memenuhi pertidaksamaan.   dan  ekuivalen  dengan  


Jadi penyelesaiannya adalah gabungan dari   dan .menjadi  

Contoh 2
Tentukan banyak penyelesaian bilangan bulat dari 

Penyelesaian:
 ekuivalen dengan
Syarat dibawah tanda akar adalah  atau 
Syarat mengkuadratkan adalah kedua ruas harus positif atau 0. Ruas kanan pasti positif atau nol. Ruas kiri  atau . Kedua syarat ini menjadi  .

Kuadratkan kedua ruas menjadi
x²- 6x + 9 < x - 1
x²- 6x + 9 - x + 1 < 0
x²-7x + 10 < 0
(x - 2)(x - 5) < 0
2 < x < 5
Jadi penyelesaiannya adalah 3 dan 4. Batasannya adalah . Jadi sudah sesuai.

Sekarang perhatikan pertidaksamaan di atas, yaitu   . Pada ruas kanan nilainya selalu positif atau nol, sehingga untuk ruas kiri negatif maka memenuhi pertidaksamaan, Dengan demikian   dan  (batasan di bawah tanda akar) juga memenuhi pertidaksamaan.    dan  ekuivalen dengan . Jadi 1 dan 2 juga merupakan penyelesaian pertidaksamaan. Jadi penyelesaiannya adalah, 1, 2, 3, dan 4. Banyak penyelesaian bilangan bulat sebanyak 4.

Menyelesaikan pertidaksamaan irasional harus memperhatikan batasan (syarat) yang perlu diberikan, yaitu batasan di bawah tanda akar dan batasan ketika mengkuadratkan. Kita sering melupakan mengenai batasan, sehingga penyelesaian suatu pertidaksamaan menjadi salah, walaupun sepertinya langkah-langkah penyelesaian tidak ada yang salah.

More about → Menyelesaikan Pertidaksamaan Irasional

Menyelesaikan Soal Dengan Melangkah Mundur

Mengerjakan soal mulai dari yang diketahui dan mengubah menjadi bentuk yang dikehendaki sudah sering kita lakukan. Namun ada kalanya akan lebih efisien bila kita menyelesaiakan soal dengan melangkah mundur. Tehnik pengerjaan ini jarang atau mungkin tidak pernah kita lakukan.

Perhatikan contoh-contoh soal berikut ini!

Contoh 1

Saya adalah sebuah bilangan. Dua kali saya dan kemudian ditambah 12 memberikan nilai 50. Berapakah saya?

Cara Biasa:

Misalkan saya adalah x. Dari soal didapat 2x + 12 = 50. Didapatlah x = 19

Mengerjakan Dengan Melangkah Mundur:

Hasil terakhir adalah 50. Kurangi 12 (operasi invers dari tambah 12) menjadi 38. Kemudian bagi 2 (operasi invers dari kali 2) hasilnya adalah 19.

Contoh 2

Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika suku ketiga ditambah 2 dan suku kedua dikurangi 2 maka diperoleh barisan geometri. Jika suku ketiga barisan aritmetika ditambah 2 maka hasilnya 4 kali suku pertama. Rasio barisan geometri itu adalah:

A. 1

B. 2

C. 4

D. 6

E. 8

Cara Biasa:

Misal barisan aritmetika itu adalah, p - b, p, dan p + b. b adalah beda barisan aritmetika

p - b, p - 2, dan p + b + 2 adalah barisan geometri

Kita akan menentukan nilai p dan b.

Pada barisan geometri berlaku (p – 2)² = (p – b)(p + b + 2)..................1)

Dilain pihak (p + b + 2) = 4(p - b), 

p + b + 2 = 4p - 4b

p - 4p = -4b - b - 2

-3p = -5b - 2

3p = 5b + 2

p = (5/3)b + (2/3)...............2)

Substitusikan ke persamaan .........1) didapat:

((5/3)b + (2/3) – 2)² = ((5/3)b + (2/3) – b)((5/3)b + (2/3) + b + 2)

(p – 2)² = (p – a)(p + b + 2)

(5b + 2 – 6)²= (5b + 2 – 3b)(5b + 2 + 3b + 6)

(5b – 4)² = (2b + 2)(8b + 8)

25b² – 40b + 16 = 16b² + 32b + 16

9b² – 72b = 0

b² – 8b = 0

b = 0 atau b = 8

b = 0 tidak dipakai jadi yang dipakai b = 8

Substitusikan b = 8 ke persamaan ...2) didapat p = 14. 

Barisan aritmetika adalah 6, 14, 22, sedangkan barisan geometrinya adalah 6, 12, 24. Jadi rasionya 2

Jawaban; C

Mengerjakan Dengan Melangkah Mundur:

Misalkan barisan geometri itu adalah a, ar, ar²

Barisan aritmetikanya adalah a, ar+2, ar²-2 

ar² – 2 + 2 = 4a

ar² = 4a

r² = 4

r = 2 atau r = -2

Jawaban C
Ternyata lebih singkat dari cara biasa.

More about → Menyelesaikan Soal Dengan Melangkah Mundur

Mendefinisikan Pangkat Rasional Dengan Benar

Di dalam Matematika ada beberapa struktur yang perlu kita kita ketahui, ialah aksioma (postulat), teorema (dalil), pengertian pangkal, dan definisi. Kali ini kita akan membahas mengenai definsi. Di dalam mendefinisikan suatu istilah, kadang kita  kurang lengkap dalam memberikan suatu batasan. Misal definisi persmaan kuadrat adalah "Persamaan yang berbentuk  . Kadang-kadang kita lupa memberi batasan bahwa .

Sekarang perhatikan contoh berikut ini

Tampaknya terjadi kontradiksi (hasilnya tidak sama). Mengapa ini sampai terjadi? Hal ini karena kita kurang dalam memberikan batasan dalam mendefinisikan pangkat rasional. Perhatikan definisi pangkat rasional berikut ini!

Bila a bilangan real, m, n bilangan bulat positif, m dan n relatif prima maka didefinisikan:

m dan n relatif prima artinya m dan tidak mempunyai faktor persekutuan selain 1 atau dengan kata lain pangkat rasional   merupakan pecahan yang paling sederhana. Sekarang perhatikan pangkat rasional  , bilangan ini tidak relatif prima, karena 6 dan 2 mempunyai faktor persekutuan 3. Jadi  merupakan pengerjaan yang salah karena tidak sesuai dengan definisi. Batasan mengenai relatif prima antara m dan n inilah yang sering dilupakan dalam mendefinisikan pangkat rasional.

Dalam menurunkan suatu sifat dari pangkat rasional kadang di beberapa buku tidak memberikan batasan yang lengkap, bahkan ada buku yang memberika batasan yang salah. Salah satu sifat pangkat rasioanal adalah:
 ada buku yang memberikan batasan a bilangan real, m dan n bilangan rasional. Seharusnya batasan yang benar a bilangan real positif. Mari kita perhatikan kasus berikut:
Misal a = -2, m = 2, dan n = 1/2.
Kita hitung ruas kiri:

Sekarang kita hitung ruas kanan:

Ternyata hasilnya tidak sama (kontradiksi). Mengapa? Karena a negatif. Padahal batasannya a positif

More about → Mendefinisikan Pangkat Rasional Dengan Benar